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마방진에 대해
작성자 한성민 등록일 20.08.10 조회수 176
2.1.1.1. 2n×2n2^{n}\times 2^{n}2n×2n 차수 마방진
이 경우 2n×2n2^{n}\times 2^{n}2n×2n(단, n2n\geq 2n2) 매우 쉽게 만들어 진다.
2진법 표기를 응용하는데, 1에서 시작하여, 다음 점화식을 거치게 된다.
(1). a1a_1a1=1
(2). nnn번째 단계를 ana_nan이라 할 때, an+1=an×2log2an+bna_{n+1}=a_{n}\times 2^{\lceil\log_{2}{a_n}\rceil}+b_{n}an+1=an×2log2an+bn(bnb_nbnana_nan의 1의 보수[1])[2]
이 과정을 반복하면 다음과 같이 된다.
a1=1a_1=1a1=1
a2=10a_2=10a2=10
a3=1001a_3=1001a3=1001
a4=10010110a_4=1001\quad0110a4=10010110
a5=1001011001101001a_5=1001\quad0110\quad0110\quad1001a5=1001011001101001
a6=10010110011010010110100110010110a_6=1001\quad0110\quad0110\quad1001\quad0110\quad1001\quad1001\quad0110a6=10010110011010010110100110010110 식으로 전개된다.
이 중에서 a2k+1a_{2k+1}a2k+1(단, k2k \geq 2k2)를 택하면 된다.

여기서 a2k+1a_{2k+1}a2k+1순열을 이용해서 2k×2k2^{k}\times 2^{k}2k×2k 마방진을 만들면 다음과 같다. 아래는 a5a_5a5와 4×4를 예시로 들었다.
1) 먼저, 4×4 칸에 a5a_5a5을 한 칸에 1자리씩 적어넣는다. a2k+1a_{2k+1}a2k+1를 택했다면 2k×2k2^{k}\times 2^{k}2k×2k 칸을 택하면 된다.
1
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
0
1
2) 그 후, 1부터 16까지를 칸에 맞춰 적어넣는다. 단, 1)에서 적은 수가 0일 경우는 생략한다. a2k+1a_{2k+1}a2k+1를 택했다면 1~22k2^{2k}22k를 적어넣으면 된다.
11
0
0
14
0
16
17
0
0
110
111
0
113
0
0
116
3) 이제 16에서 1까지를 칸에 맞춰 적어넣는다. 단 2)에서 숫자를 적어넣었을 경우는 생략한다. a2k+1a_{2k+1}a2k+1를 택했다면 22k2^{2k}22k~1을 적어넣으면 된다.
11
015
014
14
012
16
17
09
08
110
111
05
113
03
02
116
4) 1)에서 적어넣은 1과 0을 지운다. 이로서 완성.
1
15
14
4
12
6
7
9
8
10
11
5
13
3
2
16
2.1.1.2. 그 외 짝수차 마방진[편집]
a×a차 마방진과 b×b차 마방진의 구성을 알고 있을 때, ab×ab차 마방진은 a차 마방진의 구성을 우선적으로 따르는 방식과 b차 마방진의 구성을 우선적으로 따르는 방식으로 만들어 질 수 있다.
예를 들어서 12×12차 마방진의 경우, 12=3×4이므로 다음 두가지 구성이 만들어진다.
4×4차 마방진의 구성을 우선적으로 따르는 방식
1
15
14
4
8
1
6
134
127
132
125
118
123
35
28
33
3
5
7
129
131
133
120
122
124
30
32
34
4
9
2
130
135
128
121
126
119
31
36
29
12
6
7
9
107
100
105
53
46
51
62
55
60
80
73
78
102
104
106
48
50
52
57
59
61
75
77
79
103
108
101
49
54
47
58
63
56
76
81
74
8
10
11
5
71
64
69
89
82
87
98
91
96
44
37
42
66
68
70
84
86
88
93
95
97
39
41
43
67
72
65
85
90
83
94
99
92
40
45
38
13
3
2
16
116
109
114
26
19
24
17
10
15
143
136
141
111
113
115
21
23
25
12
14
16
138
140
142
112
117
110
22
27
20
13
18
11
139
144
137
3×3차 마방진의 구성을 우선적으로 따르는 방식
8
1
6
113
127
126
116
1
15
14
4
81
95
94
84
124
118
119
121
12
6
7
9
92
86
87
89
120
122
123
117
8
10
11
5
88
90
91
85
125
115
114
128
13
3
2
16
93
83
82
96
3
5
7
33
47
46
36
65
79
78
68
97
111
110
100
44
38
39
41
76
70
71
73
108
102
103
105
40
42
43
37
72
74
75
69
104
106
107
101
45
35
34
48
77
67
66
80
109
99
98
112
4
9
2
49
63
62
52
129
143
142
132
17
31
30
20
60
54
55
57
140
134
135
137
28
22
23
25
56
58
59
53
136
138
139
133
24
26
27
21
61
51
50
64
141
131
130
144
29
19
18
32

다만 문제는 응용으로 만드는게 불가능한 6×6, 14×14 등의 짝수 마방진은 생각보다 만들기 상당히 까다롭다.
아래는 6×6 마방진.
32
29
4
1
24
21
30
31
2
3
22
23
12
9
17
20
28
25
10
11
18
19
26
27
13
16
36
33
5
8
14
15
34
35
6


소수로만 이루어진 마방진도 있다.(3×3)
17
113
47
89
59
29
71
5
101

1×1 마방진은 1개가 존재하며 2×2 마방진은 존재하지 않는다. 회전과 대칭을 고려하면 3×3 마방진은 1개가 존재하고 4×4 마방진은 880개가 존재한다. 5×5 마방진은 1973년 수학자 리처드 슈뢰펠(Richard Schroeppel)에 의해 275,305,224개가 존재한다는 사실이 확인되었다.

넓은 의미의 마방진으로 육각형 거북이 등껍질처럼 배열한 지수귀문도 (영의정을 여러 차례 지낸 최석정이 처음 고안), 입체마방진(매직 큐브), 모양의 매직 스타, 육각형 격자에 육각형 안에 숫자를 채운 매직 헥사곤 등이 있다.

스도쿠는 마방진과 비슷한 라틴방진(Latin Square)에서 아이디어를 얻은 숫자퍼즐게임이다. 라틴방진이란 n × n의 사각형의 가로세로 각 줄에 1부터 n까지의 숫자가 한번씩만 나오도록 배열한 것이다. 라틴방진은 레온하르트 오일러가 연구했기 때문에 오일러방진으로도 불린다.
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